【Xレイ】経済学 等費用線

今週もはじまりましたエコノミクスアワー。

週の真ん中水曜日、今日のご予定いかがでしょうか。おはようございます、Xレイでございます。

それにしてもこのところは寒い!あぁ、私、生まれも育ちも現在もずっと変わらず北海道。私の寒いはなかなか寒い。特に先週の金曜日。なんと水道凍結指数は100!今日もそこそこ寒いですがそれでも水道凍結指数は60。来週には気温も上がって水道凍結指数は40。繰り返し先週金曜日の水道凍結指数は100!いかに寒かったことか。

まあ、そうなると住宅の構造によっては就寝時や外出時の水抜きは必須です。蛇口付近まできっちりと落とすのが水抜きのセオリー。しかし、気を付けなければいけないのが水抜きのあとの蛇口の閉め忘れ。お恥ずかしい話、学生時分に一度経験がありまして。外出前に水抜き、帰宅後水を通した途端流し台ではものすごい勢いでジャーっと。

ん?

これはいけません。このままですと今日は終始北国トーク。つれづれなる日記調の個人ブログにしてしまっては、さすがにふうじんさんに叱られます。そろそろ本題とまいりましょう。

さて、経済学。

前回は3次元の生産関数から等量曲線を描いてみました。

各々の等量曲線は「同じ生産量を生産するのに必要な労働投入量Lと資本投入量Kの組合せ」を表しています。それでは、例えば紫の曲線の生産量で生産する場合、その曲線を満たすLとKの 好きな組み合わせを選んでいいのでしょうか?

点A、点B、点C、どの点で生産しても生産量は同じ。ならば「機械よりも人を使おう!」と好みの点Cで生産してもいいのかということ。

安易にそうしてはダメですよね。こちらに書いたように生産者の欲求は利潤、それを最大限満たすように行動します。【利潤=生産量×価格-費用】とすると、生産量が同じならば次に考えるべきは費用(価格は外生変数)。費用が小さいほど利潤は大きくなりますので。そこで今回は、

「費用」について考えていきましょう。

いま「労働投入量」と「資本投入量」によって「生産量」が決まると仮定していますので、生産にかかる「費用」はその2つの費用の和ということになります。そこでまずは「労働投入量」の費用。労働投入量をL、労働1単位当たりの賃金をwとすると

「労働投入量」の費用=wL

そして次に「資本投入量」の費用。資本投入量をK、資本1単位当たりのレンタル価格をrとすると、同様に

「資本投入量」の費用=rK

参考までに、経済学では資本を所有するではなくレンタルすると考えるのが一般的です。まあ、この辺はあまり気にせずに、レンタル価格=資本単価と捉えていきましょう。さておきまして、これより生産にかかる「費用」Cは

と表せます。この費用関数CはLとKの2変数関数、つまり前回の生産関数と同じ3次元関数になっています。こちらも〔生産関数→等量曲線〕ように2次元化したいのですが、ここでは数式を使ってやってみます。結果直線となるこのグラフの切片をどうしても示しておきたいからです。

というわけで、上式を(等量曲線と同じ)横軸L、縦軸Kのグラフに描くために、Kについて解いてみます。

ここでCを固定して考えると、Kは傾き-(w/r)、Y切片C/rのLの1次関数と捉えることができます。そして

この直線は、 Cを固定して考えたときのLとKの関係、つまり 「同じ費用となるような労働投入量Lと資本投入量Kの組合せ」を表しています。

これを「等費用線」といいます。

この等費用線。固定して考えた費用Cが変化した場合、どのようになるのか。

例えばCが減少した場合。横軸と縦軸の切片に注目すると、共に分子がCとなっています。よって、Cが減少すると各々の切片とも同じ割合で(直線の傾きを変えることなく)原点に近づいていきます。つまり、費用Cが減少すると等費用線は左下へ平行移動します。

これより、wとrを外生変数(考えているモデルの外部から与えられる数値=分析モデル内では定数)とすると、左下にある等費用線ほど費用Cが小さいことが分かります。

それでは「費用最小化問題」です。

ここで冒頭の「等量曲線」に「等費用線」を併せて描いてみましょう。

あえて点A、点B、点Cを通るように、平行な3本の等費用線を引きました。この場合、点Bで生産するときに最も費用が小さくなることが分かります(繰り返し、左下の等費用線ほど費用が小さいので)。つまり、点Bが最適な生産点 ( 最適なLとKの組合せ ) ということです。しかしこのように、いつも点Bが最適になるとは限りません。

等費用線がこのような傾きの場合、今度は点Aで生産するときに費用が最小となり、そこが最適な生産点となるわけです。

いずれにしても、このようにみていくと費用が最小となる点(=最適な生産点)は「等量曲線と等費用線の接点」ということに気付きます。接点よりもわずかでも左下にある平行な等費用線は、その等量曲線とは交わりません。つまりそれは、目指す生産量を実現できないということです。ならば、費用が最小となる点は接点ということになりますよね。そして接点は、等費用線の傾きによって変化する。つまり、最適な生産点は等費用線の傾きに左右されるということです。

そこで、等費用線の傾きとはどのようにして決まるのか。

それは、外生変数である労働1単位当たりの賃金wと資本1単位当たりのレンタル価格rによって決まります。改めまして等費用線。



横軸と縦軸の切片に注目すると、wとrは各々の分母となっています。つまり、wやrの変化は切片を移動させます。そこで具体的に、例えば r(資本のレンタル価格)が上昇するとどうなるか。

rが上昇すると、それを分母に持つ縦軸の切片の値は小さくなり下方へ移動します。すると、等費用線の傾きの絶対値(傾きが負なのでこのような言い方に)が小さくなることが分かります。このようにして、wやrの値によって等費用線の傾きは変化していきます。

以上が、等量曲線と等費用線で考える基本的な費用最小化問題です。ほぼ余談ですが、この費用最小化問題を数式で考えようとすると「生産関数を制約条件とした費用関数の最小化問題」として捉えればいいわけです。理系の方ならピンとくるでしょうか、これは条件付き極値問題。となるとラグランジュの未定乗数法ですね。まあ、さすがに診断士の経済学でこれを使って解かせることはないでしょう。

といったところで、今回は以上です。2回にわたり生産者行動理論の等量曲線、等費用線、それらを使って考える費用最小化問題をみてきました。読んでいただいたあと平成29年第15問平成30年第18問(設問1)に挑むと、自信をもって解答できるのではないでしょうか。後者の(設問2)は「技術的限界代替率」とは何なのかが分からないと解けませんので、できればその辺りもやってみましょうか。

それでは、また。

Xレイ

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